Номер 20.43, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.43. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью — 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от её центра на 5 см.

20.43. Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки $A$ до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью — 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена на от её центра на 5 см.

Пусть из точки A, лежащей вне окружности с центром O и радиусом R, проведены касательная AT (где T — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках B и C (причем точка B лежит между A и C).

Из условия задачи имеем:

• Длина отрезка касательной $AT = 16$ см.
• Расстояние от точки A до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см.
• Расстояние от центра окружности O до секущей AC равно 5 см.

Согласно теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек пересечения с окружностью:$AT^2 = AB \cdot AC$

Подставим известное значение $AT = 16$:$16^2 = AB \cdot AC$$256 = AB \cdot AC$

Поскольку точка B находится между A и C, то $AB < AC$. Рассмотрим два возможных случая для расстояния в 32 см:

1. Если $AB = 32$ см, то $AC = 256 / 32 = 8$ см. Это невозможно, так как должно выполняться условие $AB < AC$.
2. Следовательно, $AC = 32$ см. Это расстояние от точки A до дальней точки пересечения.

Теперь найдем длину внешнего отрезка секущей $AB$:$AB = \frac{256}{AC} = \frac{256}{32} = 8$ см.

Длина хорды BC, образованной секущей, равна разности длин отрезков AC и AB:$BC = AC - AB = 32 - 8 = 24$ см.

По условию, секущая удалена от центра окружности на 5 см. Проведем из центра O перпендикуляр OM к хорде BC. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от центра до секущей, то есть $OM = 5$ см.

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка M является серединой хорды BC:$MC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник OMC. Он является прямоугольным, так как $OM \perp BC$. Гипотенуза OC этого треугольника является радиусом окружности R. По теореме Пифагора:$OC^2 = OM^2 + MC^2$$R^2 = 5^2 + 12^2$$R^2 = 25 + 144$$R^2 = 169$$R = \sqrt{169}$$R = 13$ см.

Ответ: 13 см.