Номер 20.41, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.41. В треугольнике $ABC$ медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $AO$, если $BM = 36$ см и $CK = 15$ см.

20.41. В треугольнике $ABC$ медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $AO$, если $BM = 36 \text{ см}$ и $CK = 15 \text{ см}$.

В треугольнике $ABC$ медианы пересекаются в точке $O$, которая является центроидом треугольника. По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы $BM$ имеем: $BO : OM = 2:1$.
Для медианы $CK$ имеем: $CO : OK = 2:1$.

Зная длины медиан, найдем длины их отрезков от вершин до точки пересечения:

$BO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24$ см.

$CO = \frac{2}{3} \cdot CK = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

По условию, медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны, значит, угол $\angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BOC$ является прямоугольным, где $BO$ и $CO$ — катеты, а $BC$ — гипотенуза.

Проведем третью медиану $AN$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $N$ является серединой стороны $BC$. Отрезок $AO$, который нам нужно найти, является частью этой медианы, причем $AO = \frac{2}{3} AN$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезок $ON$ соединяет вершину $O$ с серединой противоположной стороны $BC$, следовательно, $ON$ является медианой треугольника $BOC$.

Длину медианы треугольника можно найти по формуле, выраженной через длины его сторон. Для медианы $ON$ в треугольнике $BOC$ формула имеет вид:

$ON = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot BO^2 + 2 \cdot CO^2 - BC^2}$

Так как треугольник $BOC$ прямоугольный, по теореме Пифагора $BC^2 = BO^2 + CO^2$. Подставим это в формулу для медианы $ON$:

$ON = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot BO^2 + 2 \cdot CO^2 - (BO^2 + CO^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{BO^2 + CO^2}$

Это означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине длины гипотенузы ($ON = \frac{1}{2} BC$).

Найдем длину $ON$, подставив значения $BO$ и $CO$:

$ON = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 10^2} = \frac{1}{2} \sqrt{576 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{676} = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

По свойству точки пересечения медиан, мы знаем, что $AO : ON = 2:1$. Отсюда следует, что:

$AO = 2 \cdot ON = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Ответ: 26 см.