Номер 20.34, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.34. В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.

20.34. В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Пусть $AB$ и $CD$ — две данные параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра $O$. Длины хорд равны $AB = 16$ см и $CD = 32$ см. Расстояние между хордами равно 16 см.

Проведём из центра $O$ перпендикуляр к хордам. Пусть он пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и хорду $CD$ в точке $N$. Поскольку $AB \parallel CD$, отрезок $MN$ является расстоянием между хордами, и, следовательно, $MN = 16$ см.

Согласно свойству окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Таким образом, мы получаем:
$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8$ см.
$CN = \frac{1}{2}CD = \frac{32}{2} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. В этих треугольниках гипотенузы $OA$ и $OC$ равны радиусу окружности $R$. Так как хорды находятся по разные стороны от центра, точка $O$ лежит на отрезке $MN$. Обозначим длину отрезка $OM$ через $x$. Тогда длина отрезка $ON$ будет равна $MN - OM = 16 - x$.

Применим теорему Пифагора к обоим треугольникам:
1. В $\triangle OMA$: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + 8^2$.
2. В $\triangle ONC$: $R^2 = OC^2 = ON^2 + CN^2 = (16 - x)^2 + 16^2$.

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$x^2 + 8^2 = (16 - x)^2 + 16^2$
$x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2 + 256$
$x^2 + 64 = x^2 - 32x + 512$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения и решим его относительно $x$:
$64 = -32x + 512$
$32x = 512 - 64$
$32x = 448$
$x = \frac{448}{32} = 14$

Итак, расстояние от центра до первой хорды $OM = 14$ см. Теперь найдем радиус, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$R^2 = x^2 + 8^2 = 14^2 + 8^2 = 196 + 64 = 260$
$R = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см.

Ответ: $2\sqrt{65}$ см.