Номер 20.29, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.29. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

20.29. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Пусть биссектриса одного из острых углов делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Рассмотрим первый случай: биссектриса проведена к катету $a$. Тогда длина этого катета равна сумме длин отрезков: $a = 24 + 51 = 75$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае отношение гипотенузы $c$ к прилежащему катету $b$ равно отношению отрезков, на которые биссектриса разделила катет $a$.

$\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — длины отрезков катета $a$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $c > b$. Это означает, что отрезок, прилежащий к гипотенузе, должен быть длиннее отрезка, прилежащего к катету $b$. Следовательно, биссектриса делит катет $a$ на отрезки 51 см (со стороны вершины с острым углом) и 24 см (со стороны прямого угла). Таким образом, получаем соотношение:

$\frac{c}{b} = \frac{51}{24} = \frac{17}{8}$

Отсюда можно выразить гипотенузу через катет $b$: $c = \frac{17}{8}b$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные значения и полученное выражение для $c$:

$75^2 + b^2 = (\frac{17}{8}b)^2$

$5625 + b^2 = \frac{289}{64}b^2$

Перенесем слагаемые с $b^2$ в одну сторону:

$5625 = \frac{289}{64}b^2 - b^2$

$5625 = (\frac{289 - 64}{64})b^2$

$5625 = \frac{225}{64}b^2$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = \frac{5625 \cdot 64}{225} = 25 \cdot 64 = 1600$

Отсюда находим длину катета $b$:

$b = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь, зная $b$, найдем гипотенузу $c$:

$c = \frac{17}{8}b = \frac{17}{8} \cdot 40 = 17 \cdot 5 = 85$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 40 см, 75 см и 85 см. (Если бы биссектриса была проведена к другому катету, то катеты поменялись бы местами, но их длины остались бы 40 см и 75 см, что не влияет на периметр).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = a + b + c = 75 + 40 + 85 = 200$ см.

Ответ: 200 см.