Номер 20.28, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.28. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

20.28. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов как $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы как $AB = c$.

По условию, биссектриса прямого угла $C$, обозначим ее $CD$, делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AD = 40$ см и $DB = 30$ см.

Найдем длину гипотенузы $c$ как сумму длин ее отрезков:
$c = AD + DB = 40 + 30 = 70$ см.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для биссектрисы $CD$ это свойство записывается так:
$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$
Подставив наши обозначения и известные значения, получим отношение катетов:
$\frac{b}{a} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$
Из этого соотношения можно выразить один катет через другой:
$b = \frac{4}{3}a$

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим в это уравнение выражение для $b$ и значение $c$:
$a^2 + (\frac{4}{3}a)^2 = 70^2$
$a^2 + \frac{16}{9}a^2 = 4900$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{9a^2 + 16a^2}{9} = 4900$
$\frac{25a^2}{9} = 4900$
Выразим $a^2$:
$a^2 = \frac{4900 \cdot 9}{25} = 196 \cdot 9 = 1764$
Найдем $a$, взяв квадратный корень (длина не может быть отрицательной):
$a = \sqrt{1764} = 42$ см.

Теперь найдем длину второго катета $b$:
$b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3} \cdot 42 = 4 \cdot 14 = 56$ см.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c$
$P = 42 + 56 + 70 = 168$ см.

Ответ: 168 см.