Номер 20.30, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.30. Дан отрезок длины 1. Постройте отрезок, равный:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{5}$;

3) $\sqrt{7}$.

20.30. Дан отрезок длины 1. Постройте отрезок, равный:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{5}$;

3) $\sqrt{7}$.

Основным методом для решения данной задачи является использование теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ справедливо соотношение $c^2 = a^2 + b^2$, из которого следует, что $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Таким образом, мы можем построить отрезок иррациональной длины как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами известных длин.

1) Для построения отрезка длиной $\sqrt{2}$ необходимо построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет иметь искомую длину. Используя теорему Пифагора, мы можем представить 2 как сумму квадратов: $2 = 1^2 + 1^2$. Следовательно, отрезок длиной $\sqrt{2}$ будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

Порядок построения:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля, раствор которого равен длине заданного единичного отрезка, отложим на прямой отрезок AB длиной 1.
3. В точке B восставим перпендикуляр к прямой AB.
4. На этом перпендикуляре отложим отрезок BC длиной 1.
5. Соединим точки A и C.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и BC равны 1. По теореме Пифагора, длина гипотенузы AC равна $\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Отрезок AC является искомым.

Ответ: Искомый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

2) Для построения отрезка длиной $\sqrt{5}$ снова воспользуемся теоремой Пифагора. Представим число 5 в виде суммы квадратов двух чисел. Например, $5 = 2^2 + 1^2$. Это означает, что отрезок длиной $\sqrt{5}$ можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

Порядок построения:

1. Начертим прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля отложим на прямой отрезок AD длиной 2 (дважды отложив единичный отрезок).
3. В точке D восставим перпендикуляр к прямой AD.
4. На перпендикуляре отложим отрезок DE длиной 1.
5. Соединим точки A и E.

В полученном прямоугольном треугольнике ADE катеты AD и DE равны 2 и 1 соответственно. Длина гипотенузы AE равна $\sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$. Отрезок AE является искомым.

Ответ: Искомый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и 1.

3) Для построения отрезка длиной $\sqrt{7}$ опять применим теорему Пифагора. Так как 7 нельзя представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, построение будет состоять из нескольких шагов. Представим 7 как $7 = 4 + 3 = 2^2 + (\sqrt{3})^2$. Это значит, что отрезок $\sqrt{7}$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и $\sqrt{3}$.

Сначала необходимо построить отрезок длиной $\sqrt{3}$. Для этого представим 3 как $3 = 1 + 2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2$. Таким образом, отрезок $\sqrt{3}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и $\sqrt{2}$. Отрезок $\sqrt{2}$ мы уже строили в первом пункте.

Алгоритм построения:

1. Построение $\sqrt{2}$: строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{2}$.
2. Построение $\sqrt{3}$: строим новый прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 1, а второй катет равен построенному отрезку длиной $\sqrt{2}$. Его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$.
3. Построение $\sqrt{7}$: строим третий прямоугольный треугольник. Один его катет равен 2 (два единичных отрезка), а второй катет равен построенному отрезку длиной $\sqrt{3}$. Его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+3} = \sqrt{7}$.

Гипотенуза, полученная на последнем шаге, является искомым отрезком.

Ответ: Искомый отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и $\sqrt{3}$, где отрезок $\sqrt{3}$ строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и $\sqrt{2}$, а отрезок $\sqrt{2}$ — как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.