Номер 20.35, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.35. В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

20.35. В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. По условию, хорды находятся по одну сторону от центра. Пусть длина хорды $AB = 48$ см, а длина хорды $CD = 24$ см. Расстояние между хордами равно 12 см.

Проведём из центра $O$ перпендикуляр к хордам. Так как хорды параллельны, этот перпендикуляр пересечёт обе хорды. Пусть он пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и хорду $CD$ в точке $N$. По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит её пополам. Следовательно:

$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см.

$CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Расстояние между хордами — это длина отрезка $MN$, то есть $MN = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. Гипотенузы $OA$ и $OC$ этих треугольников являются радиусами окружности, то есть $OA = OC = R$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

В $\triangle OMA$: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2 = OM^2 + 24^2$

В $\triangle ONC$: $R^2 = OC^2 = ON^2 + CN^2 = ON^2 + 12^2$

Так как более длинная хорда ($AB$) находится ближе к центру, чем более короткая ($CD$), то $OM < ON$. Точка $M$ лежит на отрезке $ON$. Следовательно, $ON = OM + MN$.

Пусть $OM = x$. Тогда $ON = x + 12$. Подставим эти выражения в уравнения:

$R^2 = x^2 + 24^2$

$R^2 = (x + 12)^2 + 12^2$

Приравняем правые части этих уравнений:

$x^2 + 24^2 = (x + 12)^2 + 12^2$

$x^2 + 576 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 + 144$

$x^2 + 576 = x^2 + 24x + 144 + 144$

$x^2 + 576 = x^2 + 24x + 288$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$576 = 24x + 288$

$24x = 576 - 288$

$24x = 288$

$x = \frac{288}{24}$

$x = 12$

Мы нашли расстояние от центра до хорды $AB$: $OM = 12$ см.

Теперь найдём радиус $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = x^2 + 24^2 = 12^2 + 24^2 = 144 + 576 = 720$

$R = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $12\sqrt{5}$ см.