Номер 20.38, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.38. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см. Вычислите периметр трапеции.

20.38. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см. Вычислите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $BC$ и $AD$. В трапецию вписана окружность. Пусть $K$ — точка касания окружности с меньшим основанием $BC$. По условию, точка $K$ делит основание $BC$ на отрезки $BK = 6$ см и $KC = 3$ см.

Длина меньшего основания $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = BK + KC = 6 + 3 = 9$ см.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, то есть $AB = 2r$.

Рассмотрим точки касания окружности со сторонами трапеции. Пусть $N$ — точка касания со стороной $AB$. Четырехугольник $NBKO$, где $O$ — центр окружности, является квадратом, так как его углы при вершинах $B, N, K$ прямые (угол $B$ по условию, углы $N$ и $K$ как углы между радиусом и касательной), а смежные стороны $ON$ и $OK$ равны как радиусы. Следовательно, $BK = BN = r$.

Из условия $BK = 6$ см, значит, радиус окружности $r = 6$ см.

Тогда высота трапеции $AB$ равна диаметру:
$AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности. Пусть $L$ и $M$ — точки касания окружности со сторонами $CD$ и $AD$ соответственно.
Из вершины $B$: $BN = BK = 6$ см.
Из вершины $C$: $CL = CK = 3$ см.
Из вершины $A$: $AM = AN$. Так как $AB = AN + NB$, то $AN = AB - NB = 12 - 6 = 6$ см. Значит, $AM = 6$ см.
Из вершины $D$: $DM = DL$. Обозначим эту длину как $x$.

Теперь мы можем выразить длины всех сторон трапеции через $x$:
$BC = 9$ см
$AB = 12$ см
$AD = AM + MD = 6 + x$
$CD = CL + LD = 3 + x$

Для нахождения $x$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В получившемся прямоугольнике $ABCH$ имеем $CH = AB = 12$ см и $AH = BC = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Его катеты: $CH = 12$ см и $HD = AD - AH = (6 + x) - 9 = x - 3$ см. Гипотенуза $CD = 3 + x$ см.

По теореме Пифагора $CH^2 + HD^2 = CD^2$:
$12^2 + (x - 3)^2 = (3 + x)^2$
$144 + x^2 - 6x + 9 = 9 + 6x + x^2$
$144 - 6x = 6x$
$144 = 12x$
$x = \frac{144}{12} = 12$ см.

Теперь найдем длины сторон $AD$ и $CD$:
$AD = 6 + x = 6 + 12 = 18$ см.
$CD = 3 + x = 3 + 12 = 15$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54$ см.

В качестве проверки можно использовать свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны.
$AB + CD = 12 + 15 = 27$ см.
$BC + AD = 9 + 18 = 27$ см.
Так как $27=27$, свойство выполняется. Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 27 + 27 = 54$ см.

Ответ: 54 см.