Номер 20.32, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.32. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

20.32. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 20$ см и $BC = 12$ см. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $BCD$. Это означает, что она делит угол $BCD$ на два равных угла: $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.

Из двух полученных равенств ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$) следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как два его угла равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны: $CD = AD$.

Поскольку $AD = 20$ см, то и боковая сторона $CD$ также равна 20 см. Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = 20$ см.

Для нахождения длины диагонали $AC$ проведем из вершины $C$ высоту $CK$ на основание $AD$.

В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании от вершины, равен полуразности оснований:

$KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. По теореме Пифагора найдем квадрат высоты $CK$:

$CK^2 = CD^2 - KD^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. Его катетами являются высота $CK$ и отрезок $AK$. Найдем длину катета $AK$:

$AK = AD - KD = 20 - 4 = 16$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$, которая и является искомой диагональю:

$AC^2 = AK^2 + CK^2 = 16^2 + 384 = 256 + 384 = 640$.

Отсюда находим длину диагонали $AC$:

$AC = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.