Номер 20.26, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.26. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

20.26. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.В треугольник вписана окружность. Пусть точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ — это $M$, $N$ и $P$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Таким образом:$AM = AP$$BN = BP$$CM = CN$

Так как треугольник прямоугольный, а радиусы, проведенные в точки касания $M$ и $N$, перпендикулярны катетам $AC$ и $BC$, то четырехугольник $CMON$ (где $O$ — центр вписанной окружности) является квадратом. Следовательно, $CM = CN = r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию, один из катетов делится точкой касания на отрезки 2 см и 6 см. Пусть это катет $AC$. Его длина составляет $AC = 2 + 6 = 8$ см.Существует два возможных варианта, в зависимости от того, какой из отрезков прилегает к прямому углу $C$.

Случай 1: Отрезок, прилегающий к вершине прямого угла, равен 2 см.
В этом случае $CM = 2$ см, а другой отрезок $AM = 6$ см.
Из того, что $CMON$ — квадрат, следует, что радиус вписанной окружности $r = CM = 2$ см. Также $CN = 2$ см.
По свойству касательных, $AP = AM = 6$ см.
Обозначим длину отрезка $BN$ через $x$. Тогда $BN = BP = x$.
Теперь можем выразить длины сторон треугольника:
Катет $AC = AM + CM = 6 + 2 = 8$ см.
Катет $BC = CN + BN = 2 + x$ см.
Гипотенуза $AB = AP + BP = 6 + x$ см.
Применим теорему Пифагора ($AC^2 + BC^2 = AB^2$):
$8^2 + (2 + x)^2 = (6 + x)^2$
$64 + (4 + 4x + x^2) = (36 + 12x + x^2)$
$68 + 4x + x^2 = 36 + 12x + x^2$
$68 + 4x = 36 + 12x$
$32 = 8x$
$x = 4$ см.
Теперь найдем длины сторон:
Катет $AC = 8$ см.
Катет $BC = 2 + 4 = 6$ см.
Гипотенуза $AB = 6 + 4 = 10$ см.
Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Решение верное.

Случай 2: Отрезок, прилегающий к вершине прямого угла, равен 6 см.
В этом случае $CM = 6$ см, а другой отрезок $AM = 2$ см.
Следовательно, радиус $r = CM = 6$ см, и $CN = 6$ см.
По свойству касательных, $AP = AM = 2$ см.
Обозначим длину отрезка $BN$ через $x$. Тогда $BN = BP = x$.
Выразим длины сторон треугольника:
Катет $AC = AM + CM = 2 + 6 = 8$ см.
Катет $BC = CN + BN = 6 + x$ см.
Гипотенуза $AB = AP + BP = 2 + x$ см.
Применим теорему Пифагора:
$8^2 + (6 + x)^2 = (2 + x)^2$
$64 + (36 + 12x + x^2) = (4 + 4x + x^2)$
$100 + 12x + x^2 = 4 + 4x + x^2$
$100 + 12x = 4 + 4x$
$8x = -96$
$x = -12$
Длина отрезка не может быть отрицательной, следовательно, этот случай не имеет решения.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.
Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.