Номер 20.20, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.20. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

20.20. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, длина высоты $BH = 8$ см, а радиус описанной окружности $R = 5$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и серединным перпендикуляром к этому основанию. Центр описанной окружности $O$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, следовательно, точка $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $BH$.

Так как треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит внутри него. Точки $B, O, H$ лежат на одной прямой. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины треугольника равно радиусу, поэтому $OB = R = 5$ см. Зная длину высоты $BH$, мы можем найти расстояние $OH$:

$OH = BH - OB = 8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ ($\angle OHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $OA$ является радиусом описанной окружности, то есть $OA = R = 5$ см, а катет $OH = 3$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $AH$:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

$5^2 = 3^2 + AH^2$

$25 = 9 + AH^2$

$AH^2 = 25 - 9 = 16$

$AH = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$ ($\angle BHA = 90^\circ$). Нам известны длины катетов $BH = 8$ см и $AH = 4$ см. Гипотенуза $AB$ является боковой стороной искомого треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

$AB^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.