Номер 20.17, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.17. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен 6 см. Найдите основание треугольника.

20.17. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен 6 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Из вершины $A$ к боковой стороне $BC$ проведена высота $AH$.

По условию задачи, длина высоты $AH = 8$ см. Высота делит сторону $BC$ на два отрезка, $BH$ и $HC$. Отрезок, прилежащий к вершине $B$ (вершина, где сходятся равные стороны), равен 6 см. Таким образом, $BH = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AB$ равен сумме квадратов катетов $AH$ и $BH$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставив известные значения, найдем длину боковой стороны $AB$:
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны, то есть $BC = AB = 10$ см.

Точка $H$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $HC$. Найдем длину отрезка $HC$:
$HC = BC - BH = 10 - 6 = 4$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$). Его гипотенузой является основание $AC$ исходного треугольника. Снова применим теорему Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

Подставим значения длин катетов $AH$ и $HC$:
$AC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$
$AC = \sqrt{80}$

Упростим полученное значение: $AC = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.