Номер 20.11, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.11. В треугольнике $ABC$ $BC = 20$ см, высота $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ см и $CD = 16$ см. Найдите сторону $AB$.

20.11. В треугольнике $ABC$ $BC = 20$ см, высота $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ см и $CD = 16$ см. Найдите сторону $AB$.

Поскольку $BD$ является высотой в треугольнике $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, высота $BD$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle BDA$ и $\triangle BDC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. В нём $BC$ является гипотенузой, а $BD$ и $CD$ — катетами. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $BC^2 = BD^2 + CD^2$.

Из условия задачи нам известны длины гипотенузы $BC = 20$ см и катета $CD = 16$ см. Мы можем найти длину второго катета $BD$, который является высотой треугольника $ABC$.
$BD^2 = BC^2 - CD^2$
$BD^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $BDA$. В нём $AB$ является гипотенузой, а $AD$ и $BD$ — катетами. Применим теорему Пифагора для этого треугольника: $AB^2 = AD^2 + BD^2$.

Из условия задачи нам известна длина катета $AD = 5$ см, а длину катета $BD$ мы вычислили на предыдущем шаге: $BD = 12$ см. Теперь мы можем найти искомую сторону $AB$.
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.