Номер 20.6, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.6. Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 32 см.

20.6. Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 32 см.

20.6.

Пусть даны диагонали ромба $d_1 = 24$ см и $d_2 = 32$ см.

Диагонали ромба обладают важным свойством: они пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Катеты каждого из этих треугольников равны половинам диагоналей, а гипотенуза является стороной ромба. Найдем длины катетов:
Первый катет: $\frac{d_1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Второй катет: $\frac{d_2}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь найдем длину стороны ромба, обозначив ее как $a$. Сторона $a$ является гипотенузой в этих прямоугольных треугольниках. По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$a^2 = 12^2 + 16^2$
$a^2 = 144 + 256$
$a^2 = 400$
$a = \sqrt{400} = 20$ см.

Периметр ромба $P$ — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у ромба все стороны равны, его периметр вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P = 4 \times 20 = 80$ см.

Ответ: 80 см.