Номер 20.8, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.8. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а другой катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

20.8. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а другой катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, один из катетов равен 21 см. Пусть $a = 21$ см.

Другой катет на 7 см меньше гипотенузы, следовательно, $b = c - 7$.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$21^2 + (c - 7)^2 = c^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$:

$441 + c^2 - 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = c^2$

$441 + c^2 - 14c + 49 = c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$490 - 14c + c^2 = c^2$

Вычтем $c^2$ из обеих частей уравнения:

$490 - 14c = 0$

$14c = 490$

$c = \frac{490}{14} = 35$

Таким образом, длина гипотенузы $c$ равна 35 см.

Теперь мы можем найти длину второго катета $b$:

$b = c - 7 = 35 - 7 = 28$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c$

$P = 21 + 28 + 35 = 84$ см.

Ответ: 84 см.