Номер 20.9, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а катеты относятся как 5 : 12. Найдите катеты этого треугольника.

20.9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а катеты относятся как 5 : 12. Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 26$ см, а катеты относятся как $5:12$.

Это можно записать как $\frac{a}{b} = \frac{5}{12}$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины катетов можно выразить как:

$a = 5x$

$b = 12x$

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение известные значения и выражения для катетов:

$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$

Возведем в квадрат слагаемые в левой части и число в правой части уравнения:

$25x^2 + 144x^2 = 676$

Сложим слагаемые, содержащие $x^2$:

$169x^2 = 676$

Теперь найдем $x^2$, разделив обе части уравнения на 169:

$x^2 = \frac{676}{169}$

$x^2 = 4$

Найдем значение $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности $x$, мы можем найти длины катетов:

Первый катет: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Второй катет: $b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Проверим результат: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. А $26^2 = 676$. Равенство выполняется.

Ответ: длины катетов равны 10 см и 24 см.