Номер 20.7, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.7. Сторона ромба равна 26 см, а одна из диагоналей — 48 см. Найдите другую диагональ ромба.

20.7. Сторона ромба равна 26 см, а одна из диагоналей – 48 см. Найдите другую диагональ ромба.

20.7

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$. По условию задачи даны: сторона $a = 26$ см и одна из диагоналей $d_1 = 48$ см.

Диагонали ромба обладают важным свойством: они пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

Найдем длину половины известной диагонали:
$\frac{d_1}{2} = \frac{48 \text{ см}}{2} = 24 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора к одному из этих прямоугольных треугольников. Согласно теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения в формулу:
$24^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 26^2$

Выполним вычисления:
$576 + (\frac{d_2}{2})^2 = 676$

Теперь выразим и найдем квадрат половины второй диагонали:
$(\frac{d_2}{2})^2 = 676 - 576$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 100$

Чтобы найти длину половины второй диагонали, извлечем квадратный корень:
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Полная длина второй диагонали $d_2$ равна удвоенной длине ее половины:
$d_2 = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.