Номер 20.5, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.5. В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

20.5. В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

20.5.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведена хорда $AB$. По условию, радиус окружности $R = 10$ см, а длина хорды $AB = 16$ см.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $OH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 10$ см. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота ($OH$), проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание $AB$ пополам.
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (где $\angle OHA = 90^\circ$). В нем известны гипотенуза $OA$ (радиус) и катет $AH$ (половина хорды).
- Гипотенуза $OA = 10$ см.
- Катет $AH = 8$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет $OH$:
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
Отсюда,
$OH^2 = OA^2 - AH^2$
$OH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.