Номер 19.25, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.25. На высотах $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $B_2$ и $C_2$ так, что $\angle AB_2C = \angle AC_2B = 90^\circ$.

Докажите, что $AB_2 = AC_2$.

19.25. На высотах $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $B_2$ и $C_2$ так, что $\angle AB_2 C = \angle AC_2 B = 90^\circ$.

Докажите, что $AB_2 = AC_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AB_2C$, в котором по условию $\angle AB_2C = 90^\circ$. Точка $B_2$ лежит на высоте $BB_1$ исходного остроугольного треугольника $\triangle ABC$. Так как $BB_1 \perp AC$, то отрезок $B_2B_1$ является высотой в треугольнике $\triangle AB_2C$, опущенной из вершины прямого угла $B_2$ на гипотенузу $AC$.

Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Таким образом, $B_2B_1^2 = AB_1 \cdot CB_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AB_1B_2$ (так как $BB_1$ — высота, $\angle AB_1B_2 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AB_2^2 = AB_1^2 + B_2B_1^2$

Подставим в это равенство выражение для $B_2B_1^2$, полученное ранее:

$AB_2^2 = AB_1^2 + AB_1 \cdot CB_1 = AB_1 \cdot (AB_1 + CB_1)$.

Поскольку $\triangle ABC$ — остроугольный, основание высоты $B_1$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AB_1 + CB_1 = AC$. Следовательно, мы получаем:

$AB_2^2 = AB_1 \cdot AC$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$ ($\angle AB_1B = 90^\circ$) выразим $AB_1$ через сторону $AB$ и угол $\angle A$: $AB_1 = AB \cdot \cos(\angle A)$.

Подставив это, получим окончательное выражение для $AB_2^2$:

$AB_2^2 = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$.

Теперь проведем полностью аналогичные рассуждения для точки $C_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_2B$, в котором по условию $\angle AC_2B = 90^\circ$. Точка $C_2$ лежит на высоте $CC_1$, следовательно, отрезок $C_2C_1$ является высотой в $\triangle AC_2B$, опущенной из вершины прямого угла $C_2$ на гипотенузу $AB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: $C_2C_1^2 = AC_1 \cdot BC_1$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AC_1C_2$ ($\angle AC_1C_2 = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

$AC_2^2 = AC_1^2 + C_2C_1^2 = AC_1 \cdot (AC_1 + BC_1)$.

Так как $\triangle ABC$ остроугольный, точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, и $AC_1 + BC_1 = AB$. Таким образом:

$AC_2^2 = AC_1 \cdot AB$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$ ($\angle AC_1C = 90^\circ$) выразим $AC_1$: $AC_1 = AC \cdot \cos(\angle A)$.

Подставив, получим окончательное выражение для $AC_2^2$:

$AC_2^2 = AC \cdot AB \cdot \cos(\angle A)$.

Сравнивая полученные выражения для $AB_2^2$ и $AC_2^2$, мы видим, что они равны:

$AB_2^2 = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

$AC_2^2 = AC \cdot AB \cdot \cos(\angle A)$

Следовательно, $AB_2^2 = AC_2^2$. Так как длины отрезков $AB_2$ и $AC_2$ являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует и равенство самих длин: $AB_2 = AC_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB_2 = AC_2$.