Номер 19.18, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.18. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

19.18. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен. $AB$ — его гипотенуза, а $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе. Тогда отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$. Нам даны длины гипотенузы $c = |AB|$ и проекции катета $a_c = |AH|$.

Вершина $C$ обладает двумя ключевыми свойствами, которые можно использовать для построения:

1. Поскольку угол $\angle ACB = 90^\circ$, вершина $C$ должна лежать на окружности, диаметром которой является гипотенуза $AB$. Это следует из свойства вписанного угла, опирающегося на диаметр.
2. Поскольку $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу, то $CH \perp AB$. Это означает, что вершина $C$ должна лежать на прямой, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через точку $H$.

Таким образом, искомая вершина $C$ является точкой пересечения двух геометрических мест точек: окружности с диаметром $AB$ и перпендикуляра к $AB$, восстановленного из точки $H$.

Построение

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной длине гипотенузы $c$.
2. На отрезке $AB$ от точки $A$ отложим отрезок $AH$, равный данной длине проекции катета $a_c$. Точка $H$ будет лежать на отрезке $AB$.
3. Найдем середину $O$ отрезка $AB$ (с помощью циркуля и линейки построим серединный перпендикуляр).
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = \frac{c}{2}$.
5. Через точку $H$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $AB$.
6. Точка пересечения прямой $m$ и построенной окружности будет искомой вершиной $C$. (Таких точек может быть две, симметричные относительно $AB$. Выберем любую из них, так как полученные треугольники будут равны).
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• Сторона $AB$ по построению равна заданной гипотенузе $c$.
• Вершина $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым ($\angle ACB = 90^\circ$). Значит, $\triangle ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$.
• Прямая $CH$ по построению перпендикулярна $AB$, следовательно, $CH$ — высота треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.
• Так как $H$ — основание высоты $CH$, то отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$. Длина отрезка $AH$ по построению равна заданной длине проекции $a_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником с заданными гипотенузой и проекцией одного из катетов на гипотенузу, что и требовалось доказать.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является искомым.