Номер 19.12, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.12. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

19.12. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Согласно условию задачи:

• Трапеция является равнобокой, следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 12$ см.
• Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Это означает, что угол между ними прямой: $\angle ACD = 90^\circ$.
• Трапеция вписана в окружность, радиус которой $R = 10$ см.

Нахождение большего основания AD

Рассмотрим треугольник ACD. Так как $\angle ACD = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Все вершины трапеции, включая A, C и D, лежат на описанной окружности. Следовательно, эта окружность также является описанной и для треугольника ACD. Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза AD треугольника ACD является диаметром описанной окружности. Длина большего основания AD равна диаметру: $AD = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Нахождение меньшего основания BC

Для нахождения меньшего основания BC необходимо выполнить несколько промежуточных вычислений. Сначала найдем длину диагонали AC, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD: $AC^2 + CD^2 = AD^2$ $AC^2 + 12^2 = 20^2$ $AC^2 + 144 = 400$ $AC^2 = 256$ $AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В прямоугольном треугольнике ACD, CH — это высота, опущенная на гипотенузу. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$. $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot CH = 10 \cdot CH$. Приравняв эти два выражения, найдем высоту трапеции CH: $10 \cdot CH = 96 \Rightarrow CH = 9.6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора найдем длину отрезка HD: $HD^2 + CH^2 = CD^2$ $HD^2 + 9.6^2 = 12^2$ $HD^2 + 92.16 = 144$ $HD^2 = 144 - 92.16 = 51.84$ $HD = \sqrt{51.84} = 7.2$ см.

В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2}$ Подставим известные значения и найдем BC: $7.2 = \frac{20 - BC}{2}$ $14.4 = 20 - BC$ $BC = 20 - 14.4 = 5.6$ см.

Нахождение средней линии трапеции

Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме ее оснований: $m = \frac{AD + BC}{2}$ $m = \frac{20 + 5.6}{2} = \frac{25.6}{2} = 12.8$ см.

Ответ: 12,8 см.