Номер 19.8, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.8. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

19.8. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — ее диаметр, а $C$ — точка на окружности. Проведем из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к диаметру $AB$.

Согласно условию задачи, длина перпендикуляра $CH = 10$ см. Этот перпендикуляр делит диаметр на два отрезка, $AH$ и $HB$. Длина одного из них равна 4 см. Пусть, для определенности, $AH = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHC$, где $\angle OHC = 90^\circ$. Катетами этого треугольника являются $OH$ и $CH$, а гипотенузой — отрезок $OC$, который является радиусом окружности. Следовательно, $OC = R$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OHC$ имеем:$OC^2 = OH^2 + CH^2$Подставив известные значения, получим:$R^2 = OH^2 + 10^2$

Теперь выразим длину катета $OH$ через радиус $R$. Точка $O$ — центр окружности и середина диаметра $AB$. Отрезок $AO$ также является радиусом, поэтому $AO = R$. Точка $H$ лежит на отрезке $AO$ (так как $AH=4$ см, что, как мы увидим, меньше радиуса). Длину отрезка $OH$ можно найти как разность длин отрезков $AO$ и $AH$:$OH = AO - AH = R - 4$

Подставим это выражение для $OH$ в уравнение теоремы Пифагора:$R^2 = (R - 4)^2 + 10^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $R$:$R^2 = (R^2 - 2 \cdot R \cdot 4 + 4^2) + 100$$R^2 = R^2 - 8R + 16 + 100$$R^2 = R^2 - 8R + 116$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:$0 = -8R + 116$

Перенесем слагаемое с $R$ в левую часть:$8R = 116$

Найдем $R$:$R = \frac{116}{8} = \frac{29}{2} = 14,5$ см.

Если бы мы предположили, что второй отрезок $HB = 4$ см, то получили бы $OH = OB - HB = R - 4$, что привело бы к тому же самому уравнению и результату.

Ответ: 14,5 см.