Номер 19.11, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.11. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание — 16 см.

19.11. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание — 16 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Окружность, описанная около трапеции, имеет центр $O$, который, по условию, лежит на основании $AD$.

Поскольку центр описанной окружности лежит на стороне $AD$, то эта сторона является диаметром окружности. Таким образом, $AD = 2R$, где $R$ — искомый радиус окружности.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Этот треугольник вписан в окружность, и одна из его сторон ($AD$) является диаметром. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, треугольник $ACD$ — прямоугольный, и $\angle ACD = 90^\circ$. В этом треугольнике $AD$ является гипотенузой, а $AC$ и $CD$ — катетами.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AD$. По условию задачи, проекция диагонали $AC$ на большее основание $AD$ равна 16 см. Это означает, что длина отрезка $AH$ (проекции катета $AC$ на гипотенузу $AD$) равна 16 см. Длина диагонали (катета) $AC$ равна 20 см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для треугольника $ACD$ это свойство записывается так:

$AC^2 = AD \cdot AH$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы $AD$:

$20^2 = AD \cdot 16$

$400 = 16 \cdot AD$

$AD = \frac{400}{16} = 25$ см.

Мы выяснили, что большее основание $AD$ является диаметром окружности. Следовательно, радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{AD}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.