Номер 19.15, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.15. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

19.15. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.По условию задачи, один из катетов равен 15 см. Пусть $a = 15$ см.Проекция другого катета ($b$) на гипотенузу равна 16 см. Обозначим эту проекцию как $b_c$. Итак, $b_c = 16$ см.

Для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник используется формула:$r = \frac{a+b-c}{2}$Следовательно, нам нужно найти длины всех сторон треугольника.

Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.$b^2 = c \cdot b_c$$a^2 = c \cdot a_c$где $a_c$ — проекция катета $a$ на гипотенузу.

Также мы знаем, что сумма проекций катетов равна гипотенузе:$c = a_c + b_c$Из этого соотношения выразим $a_c$:$a_c = c - b_c = c - 16$

Теперь подставим это выражение в формулу для катета $a$:$a^2 = c \cdot (c - 16)$Подставим известное значение $a = 15$:$15^2 = c \cdot (c - 16)$$225 = c^2 - 16c$

Получили квадратное уравнение относительно гипотенузы $c$:$c^2 - 16c - 225 = 0$Решим его через дискриминант:$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 256 + 900 = 1156$$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$Найдем корни уравнения:$c_1 = \frac{16 - 34}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ (не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной)$c_2 = \frac{16 + 34}{2} = \frac{50}{2} = 25$Таким образом, гипотенуза $c = 25$ см.

Теперь, зная гипотенузу и один катет, найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:$a^2 + b^2 = c^2$$15^2 + b^2 = 25^2$$225 + b^2 = 625$$b^2 = 625 - 225 = 400$$b = \sqrt{400} = 20$ см.

Мы нашли все стороны треугольника: катеты $a = 15$ см и $b = 20$ см, гипотенуза $c = 25$ см.Теперь можем вычислить радиус вписанной окружности:$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{15 + 20 - 25}{2} = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.