Номер 19.20, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.20. В трапецию вписана окружность радиуса 6 см. Точка касания делит одно из оснований на отрезки длиной 9 см и 12 см. Найдите стороны трапеции.

19.20. В трапецию вписана окружность радиуса 6 см. Точка касания делит одно из оснований на отрезки длиной 9 см и 12 см. Найдите стороны трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которую вписана окружность с центром O и радиусом $r = 6$ см. Пусть AD и BC — основания трапеции. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Пусть точка касания делит большее основание AD на отрезки $AN = 9$ см и $ND = 12$ см. Тогда длина этого основания равна $AD = AN + ND = 9 + 12 = 21$ см.

Обозначим точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD как K, L, M соответственно.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:
$AK = AN = 9$ см
$DM = DN = 12$ см

Пусть $BK = BL = x$ и $CL = CM = y$.
Тогда боковые стороны трапеции равны $AB = AK + KB = 9 + x$ и $CD = CM + MD = y + 12$.
Второе основание $BC = BL + LC = x + y$.

Рассмотрим треугольник AOB. Поскольку центр вписанной окружности O лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, AO и BO являются биссектрисами углов A и B. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Тогда сумма углов в треугольнике AOB: $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник AOB является прямоугольным.

Аналогично, треугольник COD также является прямоугольным ($\angle COD = 90^\circ$).

Радиус OK, проведенный в точку касания K, перпендикулярен стороне AB. Значит, OK является высотой в прямоугольном треугольнике AOB, проведенной к гипотенузе. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $OK^2 = AK \cdot KB$.

Подставим известные значения:
$r^2 = 9 \cdot x$
$6^2 = 9x$
$36 = 9x$
$x = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник COD. OM — его высота, проведенная к гипотенузе CD.
$OM^2 = CM \cdot MD$
$r^2 = y \cdot 12$
$6^2 = 12y$
$36 = 12y$
$y = 3$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции:
Основание $AD = 21$ см.
Основание $BC = x + y = 4 + 3 = 7$ см.
Боковая сторона $AB = 9 + x = 9 + 4 = 13$ см.
Боковая сторона $CD = 12 + y = 12 + 3 = 15$ см.

Проверим, выполняется ли свойство описанной трапеции (суммы противоположных сторон равны):
$AD + BC = 21 + 7 = 28$ см.
$AB + CD = 13 + 15 = 28$ см.
Равенство выполняется, значит, стороны найдены верно.

Ответ: стороны трапеции равны 7 см, 13 см, 15 см и 21 см.