Номер 19.23, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.23. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

19.23. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Пусть боковая сторона трапеции равна $c$, а точка касания делит ее на отрезки $m = 3$ см и $n = 27$ см. Тогда длина боковой стороны равна:

$c = m + n = 3 + 27 = 30$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности $d$, то есть $h = 2r$, где $r$ — радиус этой окружности.

Рассмотрим треугольник, образованный концами боковой стороны и центром вписанной окружности $O$. Пусть боковая сторона — $CD$, а точка касания — $K$. Тогда $CK = 3$ см и $KD = 27$ см.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, $CO$ и $DO$ — биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ соответственно.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Рассмотрим углы треугольника $COD$. Так как $CO$ и $DO$ — биссектрисы, то:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Следовательно, треугольник $COD$ является прямоугольным, так как его третий угол $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Радиус $OK$, проведенный к точке касания $K$, является высотой в прямоугольном треугольнике $COD$, опущенной на гипотенузу $CD$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$OK^2 = CK \cdot KD$

$r^2 = 3 \cdot 27 = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$ см.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

$h = 2r = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.