Номер 19.19, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.19. Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции соответственно в точках $K$ и $M$. Докажите, что $AK \cdot KB = CM \cdot MD$.

19.19. Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции соответственно в точках $K$ и $M$. Докажите, что $AK \cdot KB = CM \cdot MD$.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус.

Рассмотрим боковую сторону $AB$. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$ соответственно.

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$:
$\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны половинам углов трапеции:$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle DAB$
$\angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC$

Сумма этих двух углов в треугольнике $\triangle AOB$ равна:
$\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Отсюда следует, что третий угол треугольника $\triangle AOB$ равен:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным.

Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания $K$, поэтому он перпендикулярен касательной $AB$ ($OK \perp AB$). В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$OK^2 = AK \cdot KB$.
Так как $OK = r$, то $r^2 = AK \cdot KB$.

Аналогично рассмотрим боковую сторону $CD$. $CO$ и $DO$ — биссектрисы углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$. Сумма этих углов также равна $180^\circ$ ($\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$).
В треугольнике $\triangle COD$ сумма углов $\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle COD$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle COD = 90^\circ$.

Отрезок $OM$ — это радиус, проведенный в точку касания $M$, поэтому $OM \perp CD$. $OM$ является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle COD$, проведенной к гипотенузе $CD$.

По тому же свойству высоты в прямоугольном треугольнике:
$OM^2 = CM \cdot MD$.
Так как $OM = r$, то $r^2 = CM \cdot MD$.

Мы получили два равенства:
1) $AK \cdot KB = r^2$
2) $CM \cdot MD = r^2$

Из этих равенств следует, что $AK \cdot KB = CM \cdot MD$, что и требовалось доказать.

Доказательство:
Пусть $O$ - центр вписанной окружности, а $r$ - её радиус. Поскольку $O$ является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle B$. Сумма углов трапеции при боковой стороне равна $180^\circ$, т.е. $\angle A + \angle B = 180^\circ$. В треугольнике $\triangle AOB$ имеем $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 90^\circ$. Следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$, и $\triangle AOB$ - прямоугольный. Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp AB$. Таким образом, $OK$ - высота в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$. По свойству высоты прямоугольного треугольника, $OK^2 = AK \cdot KB$. Так как $OK=r$, то $AK \cdot KB = r^2$. Аналогично, рассматривая $\triangle COD$, доказываем, что он прямоугольный, а $OM$ - его высота. Отсюда $OM^2 = CM \cdot MD$, или $CM \cdot MD = r^2$. Так как левые части обоих выражений равны $r^2$, то равны и правые: $AK \cdot KB = CM \cdot MD$.
Ответ: Утверждение доказано.