Номер 19.24, страница 145 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.24. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит его бо́льшую диагональ на отрезки длиной 3,5 см и 12,5 см. Найдите меньшую диагональ ромба.

19.24. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит его большую диагональ на отрезки длиной 3,5 см и 12,5 см. Найдите меньшую диагональ ромба.

Пусть дан ромб ABCD, в котором углы B и D — тупые, а углы A и C — острые. Тогда AC — большая диагональ, а BD — меньшая диагональ. Диагонали ромба пересекаются в точке O и взаимно перпендикулярны, а также точкой пересечения делятся пополам.

Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла B, пусть это будет BH, опущенная на сторону AD. Поскольку угол A — острый, основание высоты H будет лежать на продолжении стороны AD за точку A.

По условию, высота BH пересекает большую диагональ AC в точке K. Точка K делит диагональ AC на отрезки длиной 3,5 см и 12,5 см.

1. Найдем длину большей диагонали AC:
$AC = 3,5 + 12,5 = 16$ см.

2. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, найдем длины отрезков AO и OC:
$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

3. Точка K лежит на диагонали AC. Расстояние от вершины A до точки K меньше, чем от C до K (так как высота из B пересекает продолжение стороны AD). Следовательно, $AK = 3,5$ см и $KC = 12,5$ см. Найдем расстояние от центра ромба O до точки K:
$OK = AO - AK = 8 - 3,5 = 4,5$ см.

4. Для нахождения длины меньшей диагонали BD воспользуемся методом координат. Поместим центр ромба O в начало координат (0;0). Диагонали расположим на осях координат.
Пусть диагональ AC лежит на оси Ox, а диагональ BD — на оси Oy.
Тогда координаты вершин будут:
$A(-8; 0)$, $C(8; 0)$.
Координаты точки K, которая находится на расстоянии 4,5 см от центра O в сторону вершины A, будут $K(-4,5; 0)$.
Пусть половина меньшей диагонали $BO = b$. Тогда координаты вершин B и D:
$B(0; b)$, $D(0; -b)$. Нам нужно найти длину диагонали $BD = 2b$.

5. Найдем уравнение прямой, содержащей сторону AD. Прямая проходит через точки $A(-8; 0)$ и $D(0; -b)$.
Уравнение прямой: $\frac{x - x_A}{x_D - x_A} = \frac{y - y_A}{y_D - y_A}$
$\frac{x - (-8)}{0 - (-8)} = \frac{y - 0}{-b - 0}$
$\frac{x + 8}{8} = \frac{y}{-b}$
$y = -\frac{b}{8}(x+8)$. Угловой коэффициент прямой AD равен $m_{AD} = -\frac{b}{8}$.

6. Высота BH перпендикулярна прямой AD. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $m_{BH} = -\frac{1}{m_{AD}} = - \frac{1}{-b/8} = \frac{8}{b}$.

7. Составим уравнение прямой BH, которая проходит через точку $B(0; b)$ с угловым коэффициентом $m_{BH} = \frac{8}{b}$.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y - y_B = m_{BH}(x - x_B)$
$y - b = \frac{8}{b}(x - 0)$
$y = \frac{8}{b}x + b$.

8. Точка $K(-4,5; 0)$ лежит на прямой BH. Подставим ее координаты в уравнение прямой BH, чтобы найти значение $b$.
$0 = \frac{8}{b}(-4,5) + b$
$0 = -\frac{36}{b} + b$
$b = \frac{36}{b}$
$b^2 = 36$
$b = 6$ см (длина не может быть отрицательной).

9. Мы нашли половину длины меньшей диагонали: $BO = b = 6$ см.
Теперь найдем всю длину диагонали BD:
$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.