Вопросы, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Запишите теорему Пифагора, если катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

$a^2 + b^2 = c^2$

3. Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону?

4. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Запишите теорему Пифагора, если катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

$a^2 + b^2 = c^2$

3. Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону?

4. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, лежащей против прямого угла), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (сторонах, прилежащих к прямому углу).

Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

2. Запишите теорему Пифагора, если катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов обозначить как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема Пифагора может быть записана в виде следующего алгебраического уравнения:

$a^2 + b^2 = c^2$

Это наиболее известная форма записи теоремы.

Ответ: $a^2 + b^2 = c^2$.

3. Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону?

Чтобы найти третью сторону прямоугольного треугольника, необходимо использовать формулу теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) и выразить из нее неизвестную сторону. Существует два варианта:

1. Нахождение гипотенузы. Если известны длины двух катетов ($a$ и $b$), то для нахождения длины гипотенузы ($c$) нужно извлечь квадратный корень из суммы их квадратов. Формула выглядит так:
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. Нахождение катета. Если известна длина гипотенузы ($c$) и одного из катетов (например, $a$), то для нахождения длины второго катета ($b$) нужно извлечь квадратный корень из разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета. Формула выглядит так:
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Ответ: Если известны катеты $a$ и $b$, то гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Если известны гипотенуза $c$ и катет $a$, то другой катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

4. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

В прямоугольном треугольнике наибольшей стороной всегда является гипотенуза. Это следует из двух основных принципов:

1. Свойство углов и сторон треугольника: в любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике самый большой угол — это прямой угол, равный $90^\circ$ (два других угла — острые, и их сумма равна $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, — это гипотенуза, следовательно, она является самой длинной стороной.

2. Алгебраическое доказательство из теоремы Пифагора: согласно формуле $c^2 = a^2 + b^2$, квадрат гипотенузы $c$ равен сумме квадратов катетов $a$ и $b$. Так как длины сторон — положительные числа, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Из этого следует, что $c^2 > a^2$ и $c^2 > b^2$, а значит $c > a$ и $c > b$.

Ответ: Наибольшей стороной прямоугольного треугольника является гипотенуза.