Номер 19.21, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.21. В равнобокую трапецию можно вписать окружность. Докажите, что квадрат высоты этой трапеции равен произведению её оснований ($h^2 = ab$).

19.21. В равнобокую трапецию можно вписать окружность. Докажите, что квадрат высоты этой трапеции равен произведению её оснований ($h^2 = ab$).

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим длины её оснований как $a$ и $b$, длину боковой стороны как $c$, а высоту как $h$.

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для данной трапеции это свойство записывается как:
$c + c = a + b$
$2c = a + b$
Отсюда получаем выражение для боковой стороны: $c = \frac{a + b}{2}$.

Проведем высоту $h$ из вершины меньшего основания к большему. В равнобокой трапеции эта высота отсекает от большего основания прямоугольный треугольник. Один из катетов этого треугольника — высота $h$, гипотенуза — боковая сторона $c$, а второй катет равен полуразности оснований. Если считать, что $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее, то длина второго катета равна $\frac{a - b}{2}$.

Применим к этому прямоугольному треугольнику теорему Пифагора:
$c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $c$:
$\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$.

Теперь выразим из этого уравнения $h^2$:
$h^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$h^2 = \left(\frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2}\right)$
$h^2 = \left(\frac{a + b - a + b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + b + a - b}{2}\right)$
$h^2 = \left(\frac{2b}{2}\right) \cdot \left(\frac{2a}{2}\right)$
$h^2 = b \cdot a$.

Таким образом, мы доказали, что квадрат высоты равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению её оснований.

Ответ: Утверждение доказано: $h^2 = ab$.