Номер 19.14, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота из вершины $C$ прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность, отсекающая на катетах отрезки длиной 12 см и 18 см. Найдите катеты треугольника $ABC$.

19.14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота из вершины $C$ прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность, отсекающая на катетах отрезки длиной 12 см и 18 см. Найдите катеты треугольника $ABC$.

Пусть $ABC$ — данный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть $CD$ — высота, проведенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. Построим окружность, для которой $CD$ является диаметром.

Пусть эта окружность пересекает катет $AC$ в точке $E$ и катет $BC$ в точке $F$. По условию, длины отсекаемых отрезков (которые являются хордами окружности) равны 12 см и 18 см. Без ограничения общности, пусть $CE = 12$ см и $CF = 18$ см.

Поскольку точка $E$ лежит на окружности с диаметром $CD$, вписанный угол $\angle CED$, который опирается на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle CED = 90^\circ$, что означает, что отрезок $DE$ перпендикулярен катету $AC$ ($DE \perp AC$).

Аналогично, поскольку точка $F$ лежит на той же окружности, вписанный угол $\angle CFD$, опирающийся на диаметр $CD$, также является прямым. Следовательно, $\angle CFD = 90^\circ$, что означает, что отрезок $DF$ перпендикулярен катету $BC$ ($DF \perp BC$).

Теперь рассмотрим четырехугольник $DECF$. Угол $\angle ECF$ является углом $C$ исходного треугольника, поэтому $\angle ECF = 90^\circ$. Так как $DE \perp AC$, то угол $\angle DEC$ также равен $90^\circ$. Аналогично, так как $DF \perp BC$, то угол $\angle DFC$ равен $90^\circ$. Четырехугольник, у которого три внутренних угла прямые, является прямоугольником. Таким образом, $DECF$ — прямоугольник.

Из свойства прямоугольника известно, что его противоположные стороны равны. Следовательно, $DE = CF = 18$ см, и $DF = CE = 12$ см.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $CD$ — высота к гипотенузе $AB$, то $\angle ADC = 90^\circ$. Значит, $\triangle ADC$ — прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $DE$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AC$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике (метрические соотношения), квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $DE^2 = AE \cdot CE$.

Подставим известные значения в это соотношение:

$18^2 = AE \cdot 12$

$324 = 12 \cdot AE$

$AE = \frac{324}{12} = 27$ см.

Теперь мы можем найти длину всего катета $AC$: $AC = AE + CE = 27 + 12 = 39$ см.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$ (с прямым углом $\angle BDC = 90^\circ$). В нем $DF$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $BC$. По тому же свойству имеем: $DF^2 = BF \cdot CF$.

Подставим известные значения:

$12^2 = BF \cdot 18$

$144 = 18 \cdot BF$

$BF = \frac{144}{18} = 8$ см.

Теперь найдем длину катета $BC$: $BC = BF + CF = 8 + 18 = 26$ см.

Таким образом, катеты треугольника $ABC$ равны 39 см и 26 см.

Ответ: 26 см и 39 см.