Номер 19.7, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.7. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как 1 : 4. Найдите диагонали ромба.

19.7. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как $1:4$. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AB$. По условию, $OH = 2$ см. Точка $H$ делит сторону $AB$ на отрезки $AH$ и $HB$, которые относятся как $1:4$. Обозначим длины этих отрезков как $AH = x$ и $HB = 4x$. Тогда сторона ромба $AB = AH + HB = x + 4x = 5x$.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ отрезок $OH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$. Для высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, справедливо свойство: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае $AH$ и $HB$ являются проекциями катетов $OA$ и $OB$ на гипотенузу $AB$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $OH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения: $2^2 = x \cdot 4x$ $4 = 4x^2$ $x^2 = 1$ Так как длина отрезка не может быть отрицательной, получаем $x = 1$ см.

Теперь найдем длины отрезков $AH$, $HB$ и стороны ромба $AB$: $AH = x = 1$ см. $HB = 4x = 4 \cdot 1 = 4$ см. $AB = 5x = 5 \cdot 1 = 5$ см.

Далее найдем длины половин диагоналей $OA$ и $OB$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $AOH$ и $BOH$.

Из прямоугольного треугольника $AOH$ (где $\angle AHO = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $OA^2 = AH^2 + OH^2$ $OA^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ $OA = \sqrt{5}$ см.

Из прямоугольного треугольника $BOH$ (где $\angle BHO = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $OB^2 = HB^2 + OH^2$ $OB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ $OB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Так как точка $O$ — середина диагоналей, то длины полных диагоналей ромба равны: $d_1 = AC = 2 \cdot OA = 2\sqrt{5}$ см. $d_2 = BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см и $4\sqrt{5}$ см.