Номер 19.9, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.9. Прямые, касающиеся окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $M$. Найдите хорду $AB$, если она делит отрезок $MO$ на отрезки длиной 2 см и 18 см.

19.9. Прямые, касающиеся окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $M$. Найдите хорду $AB$, если она делит отрезок $MO$ на отрезки длиной 2 см и 18 см.

Пусть $H$ — точка пересечения хорды $AB$ и отрезка $MO$. По условию, точка $H$ делит отрезок $MO$ на два отрезка длиной 2 см и 18 см.

Полная длина отрезка $MO$ равна сумме длин этих двух отрезков: $MO = 2 + 18 = 20$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. Поскольку $MA$ является касательной к окружности в точке $A$, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $MA$. Следовательно, угол $\angle OAM$ является прямым, а треугольник $\triangle OAM$ — прямоугольным.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки $M$ к окружности, равны ($MA = MB$). Также равны радиусы ($OA = OB$). Таким образом, треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным, а треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны (по трем сторонам). Линия $MO$ является осью симметрии для данной конфигурации, поэтому она перпендикулярна хорде $AB$ и делит её пополам в точке их пересечения $H$.

Таким образом, $AH$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $MO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OAM$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Проекциями катетов $OA$ и $MA$ на гипотенузу $MO$ являются отрезки $OH$ и $MH$.

Следовательно, мы можем записать: $AH^2 = OH \cdot MH$

Подставим длины отрезков, на которые делится гипотенуза $MO$: $AH^2 = 2 \cdot 18 = 36$ см$^2$.

Найдем длину $AH$: $AH = \sqrt{36} = 6$ см.

Так как точка $H$ является серединой хорды $AB$, то длина хорды равна удвоенной длине $AH$: $AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.