Номер 19.6, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.6. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

19.6. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а высоту, проведенную к гипотенузе, как $h$. Пусть $b$ — больший катет, а $a$ — меньший. Проекцию большего катета на гипотенузу обозначим как $b_c$.

По условию задачи имеем два соотношения:

1. Больший катет меньше гипотенузы на 10 см: $b = c - 10$, откуда $c = b + 10$.

2. Больший катет больше своей проекции на гипотенузу на 8 см: $b = b_c + 8$, откуда $b_c = b - 8$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для большего катета $b$ это соотношение выглядит так:

$b^2 = c \cdot b_c$

Подставим в это уравнение выражения для $c$ и $b_c$, полученные из условий задачи:

$b^2 = (b + 10)(b - 8)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$b^2 = b^2 - 8b + 10b - 80$

$b^2 = b^2 + 2b - 80$

$0 = 2b - 80$

$2b = 80$

$b = 40$ см.

Итак, мы нашли длину большего катета. Теперь можем найти длину гипотенузы:

$c = b + 10 = 40 + 10 = 50$ см.

Нахождение меньшего катета

Меньший катет $a$ найдем по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$a^2 = c^2 - b^2$

$a^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$

$a = \sqrt{900} = 30$ см.

Ответ: меньший катет равен 30 см.

Нахождение высоты, проведённой к гипотенузе

Высоту $h$, проведенную к гипотенузе, можно найти, приравняв площади треугольника, вычисленные двумя способами: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$.

$ab = ch$

$h = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{30 \cdot 40}{50} = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Ответ: высота, проведённая к гипотенузе, равна 24 см.