Номер 19.5, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше высоты.

19.5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше высоты.

Обозначим высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, как $h$. По условию задачи, эта высота делит гипотенузу на два отрезка. Длина одного отрезка на 3 см меньше высоты, то есть равна $(h - 3)$ см, а длина другого на 4 см больше высоты, то есть равна $(h + 4)$ см.

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Составим уравнение: $h^2 = (h - 3)(h + 4)$.

Решим это уравнение, чтобы найти высоту $h$. Раскроем скобки в правой части:
$h^2 = h^2 + 4h - 3h - 12$
$h^2 = h^2 + h - 12$

Вычтем $h^2$ из обеих частей уравнения:
$0 = h - 12$
$h = 12$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем найти длины отрезков, на которые она делит гипотенузу:
Первый отрезок: $12 - 3 = 9$ см.
Второй отрезок: $12 + 4 = 16$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме этих отрезков:
$c = 9 + 16 = 25$ см.

Для нахождения катетов (обозначим их $a$ и $b$) можно использовать теорему Пифагора для малых треугольников, образованных высотой, или метрическое соотношение для катета. Воспользуемся вторым методом: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Найдем первый катет $a$:
$a^2 = c \cdot 9 = 25 \cdot 9 = 225$
$a = \sqrt{225} = 15$ см.

Найдем второй катет $b$:
$b^2 = c \cdot 16 = 25 \cdot 16 = 400$
$b = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 15 см и 20 см.