Номер 18.24, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели биссектрису $AM$. На луче $CA$ отложили отрезок $CN$, равный отрезку $BM$. Докажите, что точки $A, B, M$ и $N$ лежат на одной окружности.

18.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели биссектрису $AM$. На луче $CA$ отложили отрезок $CN$, равный отрезку $BM$. Докажите, что точки $A, B, M$ и $N$ лежат на одной окружности.

Рассмотрим две прямые $AC$ и $BC$, пересекающиеся в точке $C$. Точки $A$ и $N$ лежат на прямой $AC$, а точки $B$ и $M$ лежат на прямой $BC$.

Для того чтобы доказать, что точки $A$, $B$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности, воспользуемся теоремой, обратной теореме о степени точки (или теореме о пересекающихся секущих). Согласно этой теореме, четыре точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат на одной окружности, если выполняется равенство:

$CA \cdot CN = CB \cdot CM$

Проверим, выполняется ли это равенство для данных в задаче условий.

По условию, отрезок $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle ABC$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{CM}{BM} = \frac{AC}{AB}$

Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, так как по условию $AB = BC$. Заменим в полученной пропорции сторону $AB$ на равную ей сторону $BC$:

$\frac{CM}{BM} = \frac{AC}{BC}$

Запишем это равенство в виде произведения, умножив обе части на $BM \cdot BC$:

$CM \cdot BC = AC \cdot BM$

По условию задачи, на луче $CA$ отложен отрезок $CN$, равный отрезку $BM$, то есть $CN = BM$. Заменим в последнем равенстве $BM$ на $CN$:

$CM \cdot BC = AC \cdot CN$

Это и есть то равенство ($CA \cdot CN = CB \cdot CM$), которое является достаточным условием для того, чтобы четыре точки $A$, $B$, $M$ и $N$ лежали на одной окружности.

Таким образом, так как равенство выполняется, точки $A$, $B$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, точки $A$, $B$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.