Номер 18.20, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.20. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ больше диагонали $BD$. На диагонали $AC$ отметили точку $M$ так, что четырёхугольник $BCDM$ вписанный. Докажите, что прямая $BD$ является касательной к описанным окружностям треугольников $ABM$ и $ADM$.

18.20. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ больше диагонали $BD$. На диагонали $AC$ отметили точку $M$ так, что четырёхугольник $BCDM$ вписанный. Докажите, что прямая $BD$ является касательной к описанным окружностям треугольников $ABM$ и $ADM$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

По условию, четырёхугольник $BCDM$ является вписанным в окружность. Точка $O$ является точкой пересечения прямых $AC$ и $BD$, на которых лежат хорды (или секущие) $MC$ и $BD$ этой окружности. По теореме о степени точки (или теореме о пересекающихся хордах/секущих) для точки $O$ относительно этой окружности выполняется равенство:

$BO \cdot OD = CO \cdot OM$

Используя свойства диагоналей параллелограмма ($AO = OC$ и $BO = OD$), подставим их в полученное равенство:

$OD \cdot OD = AO \cdot OM$

$OD^2 = AO \cdot OM$

Это ключевое соотношение, которое мы будем использовать для доказательства обоих утверждений.

Рассмотрим равенство $OD^2 = AO \cdot OM$. Его можно переписать в виде пропорции: $ \frac{OD}{AO} = \frac{OM}{OD} $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ODA $ и $ \triangle OMD $. У них общий угол $ \angle AOD $ (или $ \angle DOM $). Стороны, образующие этот угол в данных треугольниках, пропорциональны, как мы показали выше. Следовательно, треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними):

$ \triangle ODA \sim \triangle OMD $

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $ \angle ODM = \angle OAD $.

Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, а точки $A$, $M$ лежат на прямой $AC$, это равенство можно переписать в виде $ \angle BDM = \angle DAM $.

Согласно теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, если угол между прямой ($BD$) и хордой ($DM$), проходящей через точку на окружности ($D$), равен вписанному углу ($ \angle DAM $), опирающемуся на эту хорду, то данная прямая является касательной к окружности в этой точке. Таким образом, прямая $BD$ является касательной к описанной окружности треугольника $ADM$ в точке $D$.

Вернемся к ключевому равенству $OD^2 = AO \cdot OM$. Так как в параллелограмме $BO = OD$, мы можем заменить $OD$ на $BO$ и получить $BO^2 = AO \cdot OM$. Перепишем это равенство в виде пропорции: $ \frac{BO}{AO} = \frac{OM}{BO} $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle OBA $ и $ \triangle OMB $. У них общий угол $ \angle AOB $. Стороны, образующие этот угол, как мы показали, пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны по второму признаку подобия:

$ \triangle OBA \sim \triangle OMB $

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $ \angle OBM = \angle OAB $.

Это равенство можно переписать в виде $ \angle DBM = \angle BAM $.

Аналогично первому случаю, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая $BD$ является касательной к описанной окружности треугольника $ABM$ в точке $B$.

Таким образом, доказано, что прямая $BD$ является касательной к описанным окружностям треугольников $ABM$ и $ADM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.