Номер 18.18, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.18. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку $M$ и через неё провели хорды $AB$ и $CD$ (рис. 18.9). Докажите, что $\angle DAB = \angle BCD$.

Рис. 18.9

18.18. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку M и через неё провели хорды AB и CD (рис. 18.9). Докажите, что $ \angle DAB = \angle BCD $.

Рис. 18.9

Пусть даны две пересекающиеся окружности, которые мы обозначим как $\omega_1$ и $\omega_2$. Их общая хорда лежит на прямой, которая является их радикальной осью. Точка $M$ лежит на этой общей хорде.

Согласно условию, через точку $M$ проведены две хорды: $AB$ и $CD$. Будем считать, что $AB$ является хордой окружности $\omega_1$, а $CD$ — хордой окружности $\omega_2$. Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на окружности $\omega_1$, а точки $C$ и $D$ — на окружности $\omega_2$.

По определению радикальной оси, степень любой точки на ней относительно обеих окружностей одинакова. Поскольку точка $M$ лежит на общей хорде (и, следовательно, на радикальной оси), ее степень относительно $\omega_1$ равна ее степени относительно $\omega_2$.

Степень точки $M$ относительно окружности $\omega_1$, в которой $AB$ является хордой, проходящей через $M$, вычисляется как произведение длин отрезков, на которые точка $M$ делит хорду: $P_{\omega_1}(M) = AM \cdot MB$.

Аналогично, степень точки $M$ относительно окружности $\omega_2$, в которой $CD$ является хордой, проходящей через $M$, равна $P_{\omega_2}(M) = CM \cdot MD$.

Так как $P_{\omega_1}(M) = P_{\omega_2}(M)$, мы получаем равенство:$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Перепишем это равенство в виде пропорции:$\frac{AM}{CM} = \frac{MD}{MB}$

Рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle CMB$.

1. Угол $\angle AMD$ равен углу $\angle CMB$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.
2. Соотношение сторон, прилежащих к этим углам, как мы показали выше, равно: $\frac{AM}{CM} = \frac{MD}{MB}$.

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle AMD$ подобен треугольнику $\triangle CMB$.$\triangle AMD \sim \triangle CMB$

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов. Углу при вершине $A$ в $\triangle AMD$ соответствует угол при вершине $C$ в $\triangle CMB$. Следовательно:$\angle MAD = \angle MCB$

Поскольку точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, то угол $\angle MAD$ совпадает с углом $\angle DAB$. Аналогично, поскольку точки $C$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, угол $\angle MCB$ совпадает с углом $\angle BCD$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle DAB = \angle BCD$, что и требовалось.

Ответ: Утверждение доказано.