Номер 18.19, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.19. Точка $M$ лежит вне окружности.

На окружности отметили точки $A, B$ и $C$ такие, что $MC^2 = MA \cdot MB$.

Докажите, что прямая $MC$ — касательная к окружности.

18.19. Точка M лежит вне окружности. На окружности отметили точки A, B и C так, что они лежат на одной прямой и $MC^2 = MA \cdot MB$. Докажите, что прямая MC — касательная к окружности.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Три различные точки A, B и C не могут одновременно лежать и на окружности, и на одной прямой. Корректная постановка задачи, соответствующая теореме, обратной теореме о касательной и секущей, предполагает, что на одной прямой лежат точки M, A и B. То есть, из точки M, лежащей вне окружности, проведена секущая, пересекающая окружность в точках A и B. Точка C — это другая точка на окружности. Требуется доказать, что прямая MC — касательная, если выполнено условие $MC^2 = MA \cdot MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MCA$ и $\triangle MBC$.

1. Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
2. Из условия задачи $MC^2 = MA \cdot MB$ следует пропорциональность сторон: $\frac{MA}{MC} = \frac{MC}{MB}$.

Таким образом, две стороны треугольника $\triangle MCA$ ($MA$ и $MC$) пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle MBC$ ($MC$ и $MB$), а угол между этими сторонами ($\angle M$) является общим. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) заключаем, что $\triangle MCA \sim \triangle MBC$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов. В частности, $\angle MCA = \angle MBC$.

Угол $\angle MBC$ (или $\angle ABC$) является вписанным углом в окружность, который опирается на дугу AC. Угол $\angle MCA$ — это угол между прямой MC и хордой AC.

Согласно теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, если угол между прямой, проходящей через точку на окружности, и хордой, проведенной через эту же точку, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри этого угла, то эта прямая является касательной к окружности.

Поскольку мы доказали, что $\angle MCA = \angle ABC$, прямая MC является касательной к окружности в точке C, что и требовалось доказать.

Ответ: Прямая MC является касательной к окружности.