Номер 18.22, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.22. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BK \cdot AB = BO^2$ и $AM \cdot AB = AO^2$. Докажите, что точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

18.22. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BK \cdot AB = BO^2$ и $AM \cdot AB = AO^2$. Докажите, что точки $M, O$ и $K$ лежат на одной прямой.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника $ABC$. Тогда отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Следовательно, $\angle OAB = \angle OAC = \frac{A}{2}$, $\angle OBA = \angle OBC = \frac{B}{2}$ и $\angle OCA = \angle OCB = \frac{C}{2}$.

Рассмотрим равенство $AM \cdot AB = AO^2$. Его можно представить в виде пропорции: $\frac{AM}{AO} = \frac{AO}{AB}$. Рассмотрим треугольники $\triangle MAO$ и $\triangle OAB$. Угол при вершине $A$ у них общий, так как точка $M$ лежит на стороне $AC$, а $AO$ — биссектриса: $\angle MAO = \angle OAC = \frac{A}{2} = \angle OAB$. Поскольку стороны, прилегающие к этому общему углу, пропорциональны, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) треугольники подобны: $\triangle MAO \sim \triangle OAB$. Из подобия следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle ABO = \frac{B}{2}$.

Аналогично рассмотрим равенство $BK \cdot AB = BO^2$. Перепишем его как $\frac{BK}{BO} = \frac{BO}{AB}$. Рассмотрим треугольники $\triangle KBO$ и $\triangle OBA$. Угол при вершине $B$ у них общий, так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, а $BO$ — биссектриса: $\angle KBO = \angle OBC = \frac{B}{2} = \angle OBA$. Стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны, следовательно, по второму признаку подобия $\triangle KBO \sim \triangle OBA$. Из этого подобия следует, что $\angle BOK = \angle BAO = \frac{A}{2}$.

Чтобы доказать, что точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $\angle MOK$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Так как $M$ лежит на $AC$, а $K$ — на $BC$, то луч $OM$ находится внутри угла $\angle AOC$, а луч $OK$ — внутри угла $\angle BOC$. Таким образом, $\angle MOK = \angle MOC + \angle COK$.

Найдём величину угла $\angle AOC$. В треугольнике $\triangle AOC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA = 180^\circ - \frac{A}{2} - \frac{C}{2} = 180^\circ - \frac{A+C}{2}$. Так как $A+B+C = 180^\circ$, то $A+C = 180^\circ - B$, и $\angle AOC = 180^\circ - \frac{180^\circ - B}{2} = 90^\circ + \frac{B}{2}$.Теперь мы можем найти $\angle MOC$:$\angle MOC = \angle AOC - \angle AOM = (90^\circ + \frac{B}{2}) - \frac{B}{2} = 90^\circ$.

Аналогично, найдём величину угла $\angle BOC$. В треугольнике $\triangle BOC$: $\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180^\circ - \frac{B+C}{2}$. Так как $B+C = 180^\circ - A$, то $\angle BOC = 180^\circ - \frac{180^\circ-A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$.Теперь мы можем найти $\angle COK$:$\angle COK = \angle BOC - \angle BOK = (90^\circ + \frac{A}{2}) - \frac{A}{2} = 90^\circ$.

Наконец, вычислим угол $\angle MOK$:$\angle MOK = \angle MOC + \angle COK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Так как угол $\angle MOK$ является развёрнутым, точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки M, O и K лежат на одной прямой.