Номер 18.15, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.15. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Точка $E$ — середина отрезка $AM$. Прямая $CE$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Известно, что $AE^2 = EC \cdot ED$. Докажите, что точки $A, D, M$ и $C$ лежат на одной окружности.

18.15. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Точка $E$ — середина отрезка $AM$. Прямая $CE$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Известно, что $AE^2 = EC \cdot ED$. Докажите, что точки $A, D, M$ и $C$ лежат на одной окружности.

Доказательство

По условию задачи нам дано равенство $AE^2 = EC \cdot ED$. Это равенство можно переписать в виде пропорции:

$\frac{AE}{EC} = \frac{ED}{AE}$

Также из условия известно, что точка $E$ — середина отрезка $AM$, что означает $AE = EM$.

Подставим $EM$ вместо $AE$ в знаменатель правой части пропорции:

$\frac{AE}{EC} = \frac{ED}{EM}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AED$ и $\triangle CEM$.

1. Мы получили соотношение сторон: $\frac{AE}{EC} = \frac{ED}{EM}$.
2. Углы $\angle AED$ и $\angle CEM$ равны как вертикальные.

Таким образом, треугольники $\triangle AED$ и $\triangle CEM$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAE = \angle MCE$.

Угол $\angle DAE$ — это тот же угол, что и $\angle DAM$. Угол $\angle MCE$ — это тот же угол, что и $\angle DCM$. Следовательно, мы доказали, что $\angle DAM = \angle DCM$.

Мы получили, что отрезок $DM$ виден из точек $A$ и $C$ под одинаковым углом. Поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $DM$ (что следует из расположения точек в исходном треугольнике), это означает, что четыре точки $A$, $D$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$, $D$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности.