Номер 18.10, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.10. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD : DB = AE : EC = 3 : 5$. Найдите отрезок $DE$, если $BC = 16$ см.

18.10. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD : DB = AE : EC = 3 : 5$. Найдите отрезок $DE$, если $BC = 16$ см.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$.

По условию задачи, на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что они делят стороны в одинаковом отношении:

$AD : DB = 3 : 5$

$AE : EC = 3 : 5$

Найдем отношение стороны $AD$ к стороне $AB$. Сторона $AB$ состоит из отрезков $AD$ и $DB$. Если принять $AD$ за 3 части ($3x$), а $DB$ за 5 частей ($5x$), то вся сторона $AB$ будет состоять из $3x + 5x = 8x$ частей. Таким образом, отношение $AD$ к $AB$ составляет:

$\frac{AD}{AB} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$

Аналогично найдем отношение стороны $AE$ к стороне $AC$. Сторона $AC$ состоит из отрезков $AE$ и $EC$. Если $AE$ принять за 3 части ($3y$), а $EC$ за 5 частей ($5y$), то вся сторона $AC$ будет $3y + 5y = 8y$. Отношение $AE$ к $AC$ составляет:

$\frac{AE}{AC} = \frac{3y}{8y} = \frac{3}{8}$

Теперь сравним треугольники $ADE$ и $ABC$.

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников.

2. Отношения сторон, прилежащих к этому углу, равны: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}$.

Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{3}{8}$

Зная коэффициент подобия и длину стороны $BC$, мы можем найти длину отрезка $DE$.

$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{8}$

Подставим известное значение $BC = 16$ см:

$\frac{DE}{16} = \frac{3}{8}$

Выразим $DE$ из этого уравнения:

$DE = 16 \cdot \frac{3}{8} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.