Номер 18.17, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.17. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см. На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 9$ см. Найдите отрезок $BD$.

18.17. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см. На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 9$ см. Найдите отрезок $BD$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. План решения следующий:
1. В треугольнике $ABC$ с помощью теоремы косинусов найдем косинус угла $C$.
2. В треугольнике $BCD$, зная две стороны ($BC$ и $CD$) и косинус угла между ними (угол $C$), снова применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $BD$.

1. Найдём $\cos(\angle C)$ из треугольника $ABC$.
Теорема косинусов для стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ гласит:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
Подставим известные значения сторон: $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см.
$8^2 = 16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \cos(\angle C)$
$64 = 256 + 144 - 384 \cdot \cos(\angle C)$
$64 = 400 - 384 \cdot \cos(\angle C)$
Выразим $384 \cdot \cos(\angle C)$:
$384 \cdot \cos(\angle C) = 400 - 64$
$384 \cdot \cos(\angle C) = 336$
Теперь найдём $\cos(\angle C)$:
$\cos(\angle C) = \frac{336}{384}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 48:
$\cos(\angle C) = \frac{336 \div 48}{384 \div 48} = \frac{7}{8}$

2. Найдём длину отрезка $BD$ из треугольника $BCD$.
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BCD$ для нахождения стороны $BD$ напротив угла $C$.
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$
Подставим известные значения $BC = 12$ см, $CD = 9$ см и найденное значение $\cos(\angle C) = \frac{7}{8}$:
$BD^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{7}{8}$
$BD^2 = 144 + 81 - \frac{2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 7}{8}$
$BD^2 = 225 - 3 \cdot 9 \cdot 7$
$BD^2 = 225 - 189$
$BD^2 = 36$
Так как длина отрезка является положительной величиной, извлечём квадратный корень:
$BD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.