Номер 18.14, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.14. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$ (точка $D$ принадлежит стороне $AB$). Известно, что $CD^2 = AD \cdot DB$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

18.14. В треугольнике ABC проведена высота CD (точка D принадлежит стороне AB). Известно, что $CD^2 = AD \cdot DB$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CD$ является высотой, проведенной к стороне $AB$. Это означает, что $CD \perp AB$, и, следовательно, треугольники $ADC$ и $CDB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Для прямоугольного треугольника $ADC$ применим теорему Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$

Аналогично для прямоугольного треугольника $CDB$: $BC^2 = DB^2 + CD^2$

Сложим эти два равенства: $AC^2 + BC^2 = (AD^2 + CD^2) + (DB^2 + CD^2)$ $AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2CD^2$

Из условия задачи нам известно, что $CD^2 = AD \cdot DB$. Подставим это выражение в полученную сумму: $AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2(AD \cdot DB)$

Правая часть этого равенства является полным квадратом суммы: $AD^2 + 2 \cdot AD \cdot DB + DB^2 = (AD + DB)^2$

Таким образом, мы получаем: $AC^2 + BC^2 = (AD + DB)^2$

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DB$, то есть $AB = AD + DB$. Следовательно: $AC^2 + BC^2 = AB^2$

Это равенство является утверждением теоремы, обратной теореме Пифагора, для треугольника $ABC$. Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным, а угол, противолежащий третьей стороне, — прямым.

В нашем случае угол, противолежащий стороне $AB$, — это угол $ACB$. Значит, $\angle ACB = 90^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.