Номер 18.8, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.8. В треугольниках $DEF$ и $MKN$ $\angle E = \angle K$, а каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно. Найдите стороны $DF$ и $MN$, если их разность равна 30 см.

18.8. В треугольниках $DEF$ и $MKN$ $\angle E = \angle K$, а каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно. Найдите стороны $DF$ и $MN$, если их разность равна 30 см.

Рассмотрим треугольники $DEF$ и $MKN$.

По условию задачи нам дано, что $\angle E = \angle K$.

Также известно, что каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно. Это можно записать в виде отношений:

$\frac{DE}{MK} = 2.5$

$\frac{EF}{KN} = 2.5$

Таким образом, мы имеем пропорциональность двух сторон и равенство углов между ними: $\frac{DE}{MK} = \frac{EF}{KN}$ и $\angle E = \angle K$.

Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники $DEF$ и $MKN$ подобны:

$\triangle DEF \sim \triangle MKN$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон, то есть $k=2.5$.

Для подобных треугольников отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, для сторон $DF$ и $MN$ также выполняется соотношение:

$\frac{DF}{MN} = k = 2.5$

Отсюда мы можем выразить $DF$ через $MN$:

$DF = 2.5 \cdot MN$

В условии задачи сказано, что разность сторон $DF$ и $MN$ равна 30 см:

$DF - MN = 30$

Теперь мы можем составить и решить систему уравнений. Подставим выражение для $DF$ из первого уравнения во второе:

$(2.5 \cdot MN) - MN = 30$

$1.5 \cdot MN = 30$

$MN = \frac{30}{1.5}$

$MN = 20$ см

Теперь, зная длину стороны $MN$, найдем длину стороны $DF$:

$DF = 2.5 \cdot MN = 2.5 \cdot 20 = 50$ см

Проверим полученный результат: $DF - MN = 50 - 20 = 30$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: $DF = 50$ см, $MN = 20$ см.