Номер 18.3, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.3. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 18.8), $AO = 24$ см, $BO = 16$ см, $CO = 15$ см, $OD = 10$ см, $\angle ACO = 72^\circ$. Найдите угол $\angle BDO$.

Рис. 18.8

18.3. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 18.8), $AO = 24$ см, $BO = 16$ см, $CO = 15$ см, $OD = 10$ см, $\angle ACO = 72^\circ$. Найдите угол $BDO$.

Рис. 18.8

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, которые образовались при пересечении отрезков $AB$ и $CD$.

В этих треугольниках углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны, так как они являются вертикальными углами.

Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы. Для этого найдем отношения длин соответствующих сторон:

$\frac{AO}{BO} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$\frac{CO}{DO} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Поскольку отношения сторон равны ($\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$) и углы, заключенные между этими сторонами, также равны ($\angle AOC = \angle BOD$), мы можем заключить, что $\triangle AOC$ подобен $\triangle BOD$ по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Углу $\angle ACO$ в треугольнике $\triangle AOC$ соответствует угол $\angle BDO$ в треугольнике $\triangle BOD$.

Таким образом, $\angle BDO = \angle ACO$. По условию задачи $\angle ACO = 72^{\circ}$, следовательно, $\angle BDO = 72^{\circ}$.

Ответ: $72^{\circ}$