Номер 18.1, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.1. На сторонах AB и AC треугольника ABC (рис. 18.6) отметили соответственно точки D и E так, что $AD = \frac{4}{7}AC$, $AE = \frac{4}{7}AB$. Найдите отрезок DE, если BC = 21 см.

Рис. 18.6

18.1. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ (рис. 18.6) отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD = \frac{4}{7}AC$, $AE = \frac{4}{7}AB$.

Найдите отрезок $DE$, если $BC = 21$ см.

Рис. 18.6

18.1.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ACB$.

У этих треугольников угол $A$ является общим.

По условию задачи даны соотношения для сторон, прилежащих к этому углу: $AD = \frac{4}{7}AC$ и $AE = \frac{4}{7}AB$.

Найдем отношение длин соответствующих сторон этих треугольников:

$\frac{AD}{AC} = \frac{4}{7}$

$\frac{AE}{AB} = \frac{4}{7}$

Так как отношение сторон $\frac{AD}{AC}$ равно отношению сторон $\frac{AE}{AB}$ ($\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{4}{7}$), а угол $A$ между этими сторонами является общим для обоих треугольников, то по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ACB$.

$\triangle ADE \sim \triangle ACB$

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон ($DE$ и $CB$) также равно коэффициенту подобия $k = \frac{4}{7}$:

$\frac{DE}{CB} = \frac{4}{7}$

Подставим известную длину стороны $BC = 21$ см в это соотношение, чтобы найти длину отрезка $DE$:

$\frac{DE}{21} = \frac{4}{7}$

Выразим $DE$:

$DE = 21 \cdot \frac{4}{7} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 12 см.