Номер 17.10, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.10. Точки $O$ и $J$ — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OJ$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$.

17.10. Точки $O$ и $J$ — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OJ$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$.

Для решения этой задачи мы докажем, что точка $J$ (инцентр треугольника $ABC$) является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$.

Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на этой же окружности, следовательно, $O$ является центром описанной окружности и для треугольника $A_1B_1C_1$.

1. Свойства точек $A_1, B_1, C_1$.
Поскольку $AA_1$ - биссектриса угла $A$, то она делит дугу $BC$, на которую опирается угол $\angle BAC$, на две равные части. То есть, дуга $BA_1$ равна дуге $A_1C$.
Аналогично, поскольку $BB_1$ - биссектриса угла $B$, дуга $AB_1$ равна дуге $B_1C$.
И поскольку $CC_1$ - биссектриса угла $C$, дуга $AC_1$ равна дуге $C_1B$.

2. J - ортоцентр треугольника $A_1B_1C_1$.
Чтобы доказать, что $J$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, нам нужно показать, что прямые, содержащие вершины этого треугольника и точку $J$, перпендикулярны противолежащим сторонам. Например, докажем, что прямая $A_1J$ перпендикулярна стороне $B_1C_1$.

Прямая $A_1J$ совпадает с прямой $AA_1$, так как точка $J$ (центр вписанной окружности) лежит на биссектрисе $AA_1$. Таким образом, нам нужно доказать, что $AA_1 \perp B_1C_1$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A, \angle B, \angle C$. Тогда биссектрисы делят их на углы $\frac{\angle A}{2}, \frac{\angle B}{2}, \frac{\angle C}{2}$.

Рассмотрим углы треугольника $A_1B_1C_1$. Его углы, как вписанные, измеряются половиной дуг, на которые они опираются.

• $\angle A_1 = \angle B_1A_1C_1 = \frac{1}{2} (\text{дуга } B_1AC_1) = \frac{1}{2} (\text{дуга } B_1A + \text{дуга } AC_1)$.
  Величина дуги $B_1A$ соответствует вписанному углу $\angle B_1CA = \angle B_1CB = \frac{\angle C}{2}$, а нет, $\angle B_1BA = \frac{\angle B}{2}$. Значит, дуга $B_1A$ измеряется как $2 \cdot \frac{\angle B}{2} = \angle B$.
  Величина дуги $AC_1$ измеряется как $2 \cdot \frac{\angle C}{2} = \angle C$.
  Тогда $\angle A_1 = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$.
• Аналогично, $\angle B_1 = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$ и $\angle C_1 = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.

Пусть $P$ - точка пересечения прямых $AA_1$ и $B_1C_1$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1P$. Мы хотим доказать, что $\angle A_1PB_1 = 90^\circ$. Для этого найдем два других угла этого треугольника.

Угол $\angle PA_1B_1 = \angle AA_1B_1$ - это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB_1$.
Так как $BB_1$ - биссектриса, то $\angle ABB_1 = \frac{\angle B}{2}$. Этот угол опирается на дугу $AB_1$. Следовательно, $\angle PA_1B_1 = \angle AA_1B_1 = \frac{\angle B}{2}$.

Угол $\angle A_1B_1P = \angle A_1B_1C_1$. Мы уже нашли этот угол: $\angle B_1 = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Теперь, по сумме углов в треугольнике $A_1B_1P$:
$\angle A_1PB_1 = 180^\circ - \angle PA_1B_1 - \angle A_1B_1P$
$\angle A_1PB_1 = 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - (90^\circ - \frac{\angle B}{2})$
$\angle A_1PB_1 = 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - 90^\circ + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ$.

Это означает, что $A_1P \perp B_1C_1$, то есть $A_1J \perp B_1C_1$. Таким образом, $A_1J$ является высотой треугольника $A_1B_1C_1$.

Аналогично доказывается, что $B_1J$ является высотой к стороне $A_1C_1$, и $C_1J$ является высотой к стороне $A_1B_1$.

Следовательно, точка $J$ является точкой пересечения высот (ортоцентром) треугольника $A_1B_1C_1$.

3. Заключение.
Мы установили, что:
- $O$ - центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ (его circumcenter).
- $J$ - ортоцентр треугольника $A_1B_1C_1$.
- Пусть $M$ - точка пересечения медиан (центроид) треугольника $A_1B_1C_1$.

В любом треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центроид лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера.Следовательно, для треугольника $A_1B_1C_1$ точки $O$, $J$ и $M$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая $OJ$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.