Номер 17.4, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.4. Постройте треугольник $ABC$ по центру описанной окружности, ортоцентру и середине стороны $BC$.

17.4. Постройте треугольник $ABC$ по центру описанной окружности, ортоцентру и середине стороны $BC$.

Анализ

Пусть $O$ — центр описанной окружности, $H$ — ортоцентр, а $M$ — середина стороны $BC$ искомого треугольника $ABC$.

Воспользуемся известным свойством треугольника, связывающим эти точки: расстояние от вершины до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. Для вершины $A$ и стороны $BC$ это свойство выражается векторным равенством: $\vec{AH} = 2\vec{OM}$.

Это равенство позволяет нам найти положение вершины $A$, зная точки $O$, $M$ и $H$.

После того как вершина $A$ найдена, мы можем определить радиус описанной окружности $R = OA$. Сама окружность будет иметь центр в точке $O$ и радиус $R$.

Сторона $BC$ лежит на прямой, проходящей через ее середину $M$. Кроме того, отрезок $OM$ соединяет центр окружности с серединой хорды $BC$, следовательно, $OM \perp BC$. Таким образом, прямая, содержащая сторону $BC$, проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $OM$.

Вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения этой прямой с описанной окружностью.

Построение

1. Соединим точки $O$ и $M$ отрезком.
2. Через точку $H$ проведем прямую $k$, параллельную прямой $OM$.
3. На прямой $k$ от точки $H$ отложим отрезок $HA$, равный удвоенной длине отрезка $OM$ ($HA = 2 \cdot OM$), так, чтобы векторы $\vec{HA}$ и $\vec{MO}$ были сонаправлены (или, что то же самое, $\vec{AH}$ и $\vec{OM}$). Таким образом, мы находим вершину $A$.
4. Проведем окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Это описанная окружность треугольника $ABC$.
5. Через точку $M$ проведем прямую $l$, перпендикулярную прямой $OM$.
6. Точки пересечения прямой $l$ и окружности $\omega$ являются вершинами $B$ и $C$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Центр описанной окружности — точка $O$. По построению (шаг 4) точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности с центром $O$. Следовательно, $O$ — центр описанной окружности.
• Середина стороны $BC$ — точка $M$. По построению (шаги 5 и 6), $B$ и $C$ — точки пересечения прямой $l$ с окружностью $\omega$. Таким образом, $BC$ — хорда этой окружности. Прямая $OM$ проходит через центр окружности $O$ и перпендикулярна хорде $BC$. Следовательно, прямая $OM$ делит хорду $BC$ пополам. Поскольку $M$ — точка пересечения $OM$ и $BC$, то $M$ — середина стороны $BC$.
• Ортоцентр — точка $H$. По построению (шаг 3) мы обеспечили выполнение векторного равенства $\vec{AH} = 2\vec{OM}$. Поскольку для построенного треугольника $ABC$ точка $O$ является центром описанной окружности, а $M$ — серединой $BC$, то для его ортоцентра (назовем его $H'$) должно выполняться свойство $\vec{AH'} = 2\vec{OM}$. Сравнивая два равенства, получаем, что $\vec{AH} = \vec{AH'}$, что означает, что точка $H$ совпадает с ортоцентром $H'$. Таким образом, данная точка $H$ является ортоцентром построенного треугольника.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: Алгоритм построения описан в пункте Построение. Сначала находится вершина $A$ с использованием векторного соотношения $\vec{AH} = 2\vec{OM}$. Затем строится описанная окружность с центром $O$ и радиусом $OA$. Вершины $B$ и $C$ находятся как точки пересечения этой окружности с прямой, проходящей через $M$ перпендикулярно $OM$.