Номер 16.19, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.19. Чевианы $AA_1$, и $CC_1$, и высота $BH$ треугольника $ABC$ конкурентны. Докажите, что $\angle BHA_1 = \angle BHC_1$.

16.19. Чевианы $AA_1$ и $CC_1$ и высота $BH$ треугольника $ABC$ конкурентны. Докажите, что $\angle BHA_1 = \angle BHC_1$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку $H$. Поскольку $BH$ — высота, то прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BH$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AC$, а ось $Oy$ — вдоль прямой $BH$.

В этой системе координат вершины треугольника и точка $H$ имеют следующие координаты:

• $H(0, 0)$
• $A(-a, 0)$
• $C(c, 0)$
• $B(0, b)$

где $a, b, c$ — положительные числа. Мы предполагаем, что треугольник $ABC$ остроугольный, так что точка $H$ лежит между $A$ и $C$. Этот выбор не влияет на общность доказательства.

Чевианы $AA_1$, $CC_1$ и высота $BH$ конкурентны, то есть пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $P$. Так как $P$ лежит на высоте $BH$ (оси $Oy$), её координаты будут $P(0, p)$, где $0 < p < b$.

Теперь найдём координаты точек $A_1$ и $C_1$.

Точка $A_1$ — это точка пересечения прямых $AP$ и $BC$.

Уравнение прямой $AP$, проходящей через точки $A(-a, 0)$ и $P(0, p)$:

$\frac{x - (-a)}{0 - (-a)} = \frac{y - 0}{p - 0} \implies \frac{x+a}{a} = \frac{y}{p} \implies px + ap = ay \implies px - ay = -ap$

Уравнение прямой $BC$, проходящей через точки $B(0, b)$ и $C(c, 0)$:

$\frac{x - 0}{c - 0} = \frac{y - b}{0 - b} \implies \frac{x}{c} = \frac{y-b}{-b} \implies -bx = cy - bc \implies bx + cy = bc$

Решим систему из этих двух уравнений, чтобы найти координаты $A_1(x_{A1}, y_{A1})$:

$y = \frac{px+ap}{a}$

$bx + c\left(\frac{px+ap}{a}\right) = bc \implies abx + cpx + acp = abc \implies x(ab+cp) = ac(b-p)$

$x_{A1} = \frac{ac(b-p)}{ab+cp}$

$y_{A1} = \frac{p(x_{A1}+a)}{a} = \frac{p}{a}\left(\frac{ac(b-p)}{ab+cp} + a\right) = \frac{p}{a}\frac{ac(b-p) + a(ab+cp)}{ab+cp} = \frac{p(c(b-p)+ab+cp)}{ab+cp} = \frac{p(bc-cp+ab+cp)}{ab+cp} = \frac{pb(a+c)}{ab+cp}$

Итак, $A_1 = \left(\frac{ac(b-p)}{ab+cp}, \frac{pb(a+c)}{ab+cp}\right)$.

Точка $C_1$ — это точка пересечения прямых $CP$ и $AB$.

Уравнение прямой $CP$, проходящей через точки $C(c, 0)$ и $P(0, p)$:

$\frac{x - c}{0 - c} = \frac{y - 0}{p - 0} \implies \frac{x-c}{-c} = \frac{y}{p} \implies px - cp = -cy \implies px + cy = cp$

Уравнение прямой $AB$, проходящей через точки $A(-a, 0)$ и $B(0, b)$:

$\frac{x - (-a)}{0 - (-a)} = \frac{y - 0}{b - 0} \implies \frac{x+a}{a} = \frac{y}{b} \implies bx + ab = ay \implies bx - ay = -ab$

Решим систему из этих двух уравнений, чтобы найти координаты $C_1(x_{C1}, y_{C1})$:

$y = \frac{px-cp}{-c}$

$bx - a\left(\frac{px-cp}{-c}\right) = -ab \implies -bcx + a(px-cp) = abc \implies x(-bc+ap) = abc+acp = ac(b+p)$

Поправка: $y = (bx+ab)/a$. Подставим в $px + cy = cp$:

$px + c\frac{bx+ab}{a} = cp \implies apx + cbx + abc = acp \implies x(ap+bc) = ac(p-b)$

$x_{C1} = \frac{ac(p-b)}{ap+bc} = -\frac{ac(b-p)}{ap+bc}$

$y_{C1} = \frac{b(x_{C1}+a)}{a} = \frac{b}{a}\left(-\frac{ac(b-p)}{ap+bc} + a\right) = \frac{b}{a}\frac{-ac(b-p) + a(ap+bc)}{ap+bc} = \frac{b(-c(b-p)+ap+bc)}{ap+bc} = \frac{b(-bc+cp+ap+bc)}{ap+bc} = \frac{bp(a+c)}{ap+bc}$

Итак, $C_1 = \left(-\frac{ac(b-p)}{ap+bc}, \frac{bp(a+c)}{ap+bc}\right)$.

Нам нужно доказать, что $\angle BHA_1 = \angle BHC_1$. Так как $H$ — начало координат, а $B$ лежит на положительной части оси $Oy$, то $\angle BHA_1$ — это угол между вектором $\vec{HB}=(0,b)$ и вектором $\vec{HA_1}=(x_{A1}, y_{A1})$, а $\angle BHC_1$ — это угол между $\vec{HB}$ и $\vec{HC_1}=(x_{C1}, y_{C1})$.

Поскольку точка $A_1$ лежит на отрезке $BC$, она находится в первой координатной четверти ($x_{A1}>0, y_{A1}>0$). Тангенс угла $\angle BHA_1$ равен отношению абсциссы к ординате точки $A_1$:

$\tan(\angle BHA_1) = \frac{x_{A1}}{y_{A1}} = \frac{\frac{ac(b-p)}{ab+cp}}{\frac{pb(a+c)}{ab+cp}} = \frac{ac(b-p)}{pb(a+c)}$

Поскольку точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$, она находится во второй координатной четверти ($x_{C1}<0, y_{C1}>0$). Тангенс угла $\angle BHC_1$ равен отношению модуля абсциссы к ординате точки $C_1$:

$\tan(\angle BHC_1) = \frac{|x_{C1}|}{y_{C1}} = \frac{-(-\frac{ac(b-p)}{ap+bc})}{\frac{bp(a+c)}{ap+bc}} = \frac{\frac{ac(b-p)}{ap+bc}}{\frac{bp(a+c)}{ap+bc}} = \frac{ac(b-p)}{bp(a+c)}$

Мы получили, что $\tan(\angle BHA_1) = \tan(\angle BHC_1)$. Так как оба угла острые (поскольку $A_1$ и $C_1$ лежат на сторонах треугольника), то сами углы равны: $\angle BHA_1 = \angle BHC_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.